用数学归纳法证明病狗问题

《数学文化》课程的第一个作业，是用数学归纳法证明病狗问题的病狗数等于枪声响起的天数。

题目如下：

一个屋子里面有一群人（人数>1），每人领着一条狗，而这些狗中有一部分病狗（数目>0）。假定有如下条件：

1、狗的病不会传染，也不会不治而愈；
2、狗的主人不能直接看出自己的狗是否有病，也不能互相交流，只能靠看别人的狗和推理，来发现自己的狗是否有病；
3、一旦主人发现自己的狗是一只病狗，就会在当天开枪打死这条狗；
4、狗只能由他的主人开枪打死。

如果他们在一起，第一天没有枪声、第二天没有枪声……第n天发出了一片枪声，问有几条狗被打死？